薛慧丽,黄兴友,柏启明,李洪毅
(吉首大学 数学与统计学院, 湖南 吉首 416000)
均匀设计因其良好的性质被广泛地应用于工业、农业、生物制药等多个领域.均匀设计是使试验点均匀分布在试验区域中的一种空间填充设计[1].偏差在构造均匀设计和衡量设计的均匀性方面起着至关重要的作用.在已有的研究中,学者们从不同的角度出发,定义了不同的偏差,如中心化L2-偏差,可卷型L2-偏差,离散偏差,混合偏差等.与其他均匀性测度相比,离散偏差不仅大大降低了计算成本,也更适合因子水平有限的试验[2].
由于均匀设计的广泛应用,均匀设计的构造也成了一个值得研究的问题,尤其是大规模、多水平设计的构造.已有的研究中主要采用因子的水平置换和折叠反转的方法构造较少水平的大型设计.文献[3]用两种水平置换方式和特殊的全折叠反转作为doubling方法,通过一个分辨度为Ⅳ的二水平正规部分的析因设计来构造分辨度仍为Ⅳ的Double设计,同时也建立了初始设计与Double设计之间的一些联系.文献[4]讨论了doubling方法中的互补设计理论,建立了doubling方法中互补投影设计的字长型模式之间的相关联系.文献[5]进一步提出了Double设计的中心化L2-偏差与其广义字长型之间的关系.关于Double设计的更多研究,可参看文献[6-7].二水平设计的水平置换和折叠反转形式都是最简单的.文献[8]将二水平设计推广到三水平情形,提出了tripling方法,用于构造大型三水平空间填充设计.文献[9]在各类设计的筛选准则下建立了Triple设计与其初始设计的解析联系.文献[10]将tripling方法推广到quadrupling方法用于构造大型四水平空间填充设计.随着因子水平数的增多,设计的结构越来越复杂,多水平设计构造是一个难题.本文主要将文献[10]中四水平情形推广到五水平,利用水平置换和折叠反转构造五倍设计,并研究其性质.
考虑一类具有n次试验,s个q水平因子的对称设计,其中每个设计d对应于一个n×s矩阵,可记为d=(xij)n×s,xij∈{0,1,…,q-1},矩阵的每一行代表一次试验,矩阵的每一列代表一个因子,若每一列中所有水平数出现的次数相同,则将此类对称设计称为U-型设计,记作U(n;qs).
对于设计d∈U(n;qs),其离散偏差的平方值可以通过以下表达式得到:
(1)
其中,a和b是常数,且a>b>0,δij(d)代表设计d的第i行和第j行之间的相遇数,即设计d的第i行和第j行之间对应位置上相同元素的个数.
文献[11]给出了设计d∈U(n;qs)的离散偏差值平方的一个下界,
[DD(d;a,b)]2≥LDD(d;a,b),
(2)
在均匀设计中可以采用离散偏差来衡量设计的均匀性,偏差越小则设计的均匀性越好.如果一个设计具有最小的离散偏差,则称该设计是在离散偏差下的一个均匀设计.
对于设计d∈U(n;qs),当n-1=(q-1)s时,设计d被称为是饱和设计,当n-1<(q-1)s时,设计d被称为是超饱和设计.文献[12]提出了E(fNOD)准则来衡量超饱和设计的非正交性,设计E(fNOD)值的表达式及其下界如下:
(3)
E(fNOD)≥LE(fNOD),
(4)
E(fNOD)准则衡量了设计的非正交性,E(fNOD)值越小,设计的非正交性也就越小.当E(fNOD)值为0时,说明该设计是正交的.
本文主要研究五水平设计,即q=5.本节将给出五倍设计的结构,并分别在离散偏差与E(fNOD)准则下,建立五倍设计与初始设计之间的关系.
对于五水平设计d∈U(n;5s),表1给出了5种水平置换方式及对应的置换设计.
表1 设计d∈U(n;5s)的5种水平置换
基于设计d及其置换设计d(1)-d(4),下面给出五倍设计的定义.
定义1对于任意设计d∈U(n;5s),则设计d的五倍设计W(d)定义为
设计d称为W(d)的初始设计,其中d(i),i=1,2,…,4,见表1.
例1考虑最简单的五水平初始设计d=(0,1,2,3,4)′∈U(5;51),其中X′表示矩阵X的转置.通过定义1,可得到其五倍设计W(d)∈U(25;55),
不难发现,由五水平设计d得到的五倍设计W(d),其试验次数和因子个数都为初始设计的5倍,且所得的五倍设计是一个强度为2的正交设计.
对于任意两个五水平设计A∈U(n;5s),B∈U(n;5s),记λA(i),B(j)(a,b)为设计A的第i行与设计B的第j行的元素为数对(a,b)的对数,其中a,b=0,1,2,3,4.记δij(A,B)为设计A的第i行与设计B的第j行之间的相遇数,δij(A,A)=δij(A).易得δij(A,B)=λA(i),B(j)(0,0)+λA(i),B(j)(1,1)+λA(i),B(j)(2,2)+λA(i),B(j)(3,3)+λA(i),B(j)(4,4).
下面的引理建立了初始设计d和五倍设计W(d)之间的相遇数的关系,该引理是本文研究后续问题的重要基础.
引理1设d∈U(n;5s),W(d)是设计d的五倍设计,则设计d与其五倍设计W(d)之间的相遇数δij(d),δ(i+kn)(j+ln)(W(d))有如下关系:
证明根据相遇数的定义,对于任意设计d∈U(n;5s)有
δij(d)=δij(d,d)=λd(i),d(j)(0,0)+λd(i),d(j)(1,1)+λd(i),d(j)(2,2)+λd(i),d(j)(3,3)+λd(i),d(j)(4,4),
由于设计d与表1中的d(i),i=1,2,3,4是组合同构设计,其相遇数有相同的分布,即δij(d)=δij(d(1))=δij(d(2))=δij(d(3))=δij(d(4)).
因此,当k=l=0时,
δij(W(d))=δij(d)+δij(d)+δij(d)+δij(d)+δij(d)=5δij(d).
对于k=l=1,2,3,4的情形,其证明与其类似.
下面证明k≠l,k,l=0,1,2,3,4的情形,当k=0,l=1时,
δ(i)(j+n)(W(d))=δij(d)+δij(d,d(1))+δij(d,d(2))+δij(d,d(3))+δij(d,d(4)),
其中,
δij(d,d(1))=λd(i),d(1)(j)(0,0)+λd(i),d(1)(j)(1,1)+λd(i),d(1)(j)(2,2)+λd(i),d(1)(j)(3,3)+λd(i),d(1)(j)(4,4)=
λd(i),d(j)(0,3)+λd(i),d(j)(1,0)+λd(i),d(j)(2,1)+λd(i),d(j)(3,4)+λd(i),d(j)(4,2),
δij(d,d(2))=λd(i),d(2)(j)(0,0)+λd(i),d(2)(j)(1,1)+λd(i),d(2)(j)(2,2)+λd(i),d(2)(j)(3,3)+λd(i),d(2)(j)(4,4)=
λd(i),d(j)(0,4)+λd(i),d(j)(1,3)+λd(i),d(j)(2,0)+λd(i),d(j)(3,2)+λd(i),d(j)(4,1),
δij(d,d(3))=λd(i),d(3)(j)(0,0)+λd(i),d(3)(j)(1,1)+λd(i),d(3)(j)(2,2)+λd(i),d(3)(j)(3,3)+λd(i),d(3)(j)(4,4)=
λd(i),d(j)(0,1)+λd(i),d(j)(1,2)+λd(i),d(j)(2,4)+λd(i),d(j)(3,0)+λd(i),d(j)(4,3),
δij(d,d(4))=λd(i),d(4)(j)(0,0)+λd(i),d(4)(j)(1,1)+λd(i),d(4)(j)(2,2)+λd(i),d(4)(j)(3,3)+λd(i),d(4)(j)(4,4)=
λd(i),d(j)(0,2)+λd(i),d(j)(1,4)+λd(i),d(j)(2,3)+λd(i),d(j)(3,1)+λd(i),d(j)(4,0).
因此,当k=0,l=1时,
δi(j+n)(W(d))=δij(d)+δij(d,d(1))+δij(d,d(2))+δij(d,d(3))+δij(d,d(4))=δij(d)+
λd(i),d(j)(0,3)+λd(i),d(j)(1,0)+λd(i),d(j)(2,1)+λd(i),d(j)(3,4)+λd(i),d(j)(4,2)+
λd(i),d(j)(0,4)+λd(i),d(j)(1,3)+λd(i),d(j)(2,0)+λd(i),d(j)(3,2)+
λd(i),d(j)(4,1)+λd(i),d(j)(0,1)+λd(i),d(j)(1,2)+λd(i),d(j)(2,4)+
λd(i),d(j)(3,0)+λd(i),d(j)(4,3)+λd(i),d(j)(0,2)+λd(i),d(j)(1,4)+
λd(i),d(j)(2,3)+λd(i),d(j)(3,1)+λd(i),d(j)(4,0)=s.
当k≠l的其余情况,与上述证明类似.
下面的定理建立了五倍设计W(d)的离散偏差与初始设计d的任意不同两行间的相遇数之间的解析联系.
定理1对于任意设计d∈U(n;5s),W(d)是设计d的五倍设计,则
(5)
证明由(1)式与引理1,对于任意设计d∈U(n;5s),其五倍设计W(d)的离散偏差平方值为
证毕.
根据定理1,可以获得五倍设计W(d)的离散偏差值平方的一个下界.
推论1对于任意设计d∈U(n;5s),W(d)是设计d的五倍设计,则
[DD(W(d);a,b)]2≥LDD(W(d);a,b),
(6)
推论1的证明类似于(2)式,见文献[11].
由推论1可知,当且仅当初始设计d的离散偏差平方值达到下界值时五倍设计W(d)的离散偏差平方值也会达到其下界值.因此,有下面定理成立.
定理2五倍设计W(d)是离散偏差下的均匀(或近似均匀)设计当且仅当初始设计d是离散偏差下的均匀(或近似均匀)设计.
当初始设计d是一个五水平超饱和设计时,下面的定理在E(fNOD)准则下建立了五倍设计W(d)与初始设计d之间的解析联系,并给出其相应的下界.设计d和五倍设计W(d)之间的E(fNOD)值分别用E(fNOD)和E*(fNOD)表示.
定理3对于任意设计d∈U(n;5s),W(d)是设计d的五倍设计,则E(fNOD)和E*(fNOD)有如下关系:
(7)
证明对于W(d)∈U(5n;55s),根据(3)式,可得
由引理1可知,
因此,
证毕.
根据定理3,可以获得五倍设计W(d)的E*(fNOD)值的一个下界.
推论2对于任意设计d∈U(n;5s),W(d)是设计d的五倍设计,则E*(fNOD)值的下界为
E*(fNOD)≥LE*(fNOD),
(8)
从定理3可以看出五倍设计W(d)的E*(fNOD)值可以用初始设计d的E(fNOD)值线性表示,且E(fNOD)的系数为非负数,同时,E*(fNOD)和E(fNOD)达到各自下界的条件相同,因此,有下面定理成立.
定理4在E(fNOD)准则下,五倍设计W(d)为最优超饱和设计当且仅当初始设计d为最优超饱和设计.
在本节中,将通过具体的数值例子进一步说明本文所获的理论结果.为了便于计算,在本小节中所采用的离散偏差中取a=1,b=0.5.
例2考虑下面设计d∈U(25;55),该设计来自文献[13],以其为初始设计,通过定义1,得到设计d的五倍设计W(d)∈U(125;525).
由(1)式和(2)式,[DD(d;1,0.5)]2=LDD(d;1,0.5)=0.066,这表明设计d是一个均匀设计.由(5)式和(6)式,DD(W(d);1,0.5)=LDD(W(d);1,0.5)=0.02,这表明五倍设计W(d)也是一个均匀设计,进一步说明了定理2.
例3考虑超饱和设计d∈U(25;536),以其为初始设计,通过定义1,得到设计d的五倍设计W(d)∈U(125;5180).由于设计d规模较大,具体可参见文献[13].由(3)式和(4)式可得,E(fNOD)=LE(fNOD)=14.285 7.由(7)式和(8)式可得,E*(fNOD)=LE*(fNOD)=69.832 4,进一步说明了定理4.
本文提出了一种构造大规模五水平空间填充设计的新方法,获得了初始设计与五倍设计的相遇数之间的关系,并分别在离散偏差和E(fNOD)准则下,建立了五倍设计和初始设计之间的联系.结果表明,在这两种准则下五倍设计是最优的当且仅当初始设计是最优的,最后通过具体例子进一步说明本文的理论结果.
猜你喜欢 下界偏差定理 J. Liouville定理中等数学(2022年6期)2022-08-2950种认知性偏差商界评论(2022年1期)2022-04-13聚焦二项式定理创新题中学生数理化(高中版.高考数学)(2021年11期)2021-12-21方程的两个根的和差积商的上下界数学大世界(2021年10期)2021-06-05关于星匹配数的图能量下界上海理工大学学报(2020年4期)2020-09-27如何走出文章立意偏差的误区学生天地(2020年6期)2020-08-25A Study on English listening status of students in vocational school校园英语·上旬(2019年6期)2019-10-09真相草原(2018年2期)2018-03-02航天器近距离相对运动的轨迹偏差分析北京航空航天大学学报(2017年3期)2017-11-23春节中华家教(2017年2期)2017-03-01