秦仙蓉 徐德桦 吴 琼 张 氢 孙远韬
同济大学 机械与能源工程学院 上海 201804
龙门起重机是码头堆场中的重要设施，不仅可以改善工人的操作条件，减少劳动强度，还可以提高码头堆场的装卸效率，保障生产质量和安全性。因此，对龙门起重机的性能要求越来越严苛，不但需要其具备刚性好、质量轻、作业领域广等特点，同时还要求其具有在大车、小车高速运行下保持平稳。工程机械中研究结构的固有特性、静力学和动力学响应通常基于确定性的结构参数、运动参数和外载荷，但实际上由于加工和测量误差等因素，使得材料属性、外载荷、初始条件和结构参数也会存在误差和不确定性。尽管在绝大多数情况下，这种误差和不确定性较小，但对于多种不确定性参数组成的系统来说，这种不确定性的集合可能会使结构的固有属性、静力学和动力学响应产生较大的误差。因此，能够较精确地估算出不确定性参数对结构固有特性以及振动响应的影响，对工程结构设计具有非常重要的意义。
处理不确定性问题的方法主要有区间分析法、模糊模型法、概率法以及凸模型法等。马梁等[1]利用区间集合模型来研究结构不确定性的静力学和动力学问题；
在研究随机桁架结构的振动特性方面，Chen J J等[2]首先提出用随机因子法求解随机桁架问题；
高伟等[3]重点研究了随机刚架结构中的随机响应问题，基于材料参数以及结构几何参数的不确定性，理论推导出在平稳随机激励作用下结构的位移、应力响应的不确定性，并通过具体算例讨论了结构几何参数、材料参数对结构动力响应的影响；
马娟等[4,5]基于区间有限元分析理论，针对非概率以及不确定性的桁架结构提出了一种区间因子法。
本文从建立匀速的移动载荷作用在简支梁上的运动微分方程出发，利用振型叠加的原理求解出模态坐标的解析表达式；
再结合区间运算法和区间因子法，导出在不确定性简支梁中结构动力响应区间变量的区间分散性与结构几何参数（梁长、截面惯性矩）、运动参数（速度）、物理参数（弹性模量、单位长度质量）和外载荷区间分散性之间的关系；
最后将理论结果应用到龙门起重机主梁分析中，分析讨论不确定性参数对龙门起重机主梁结构动力学响应的影响。
假设幅值为pu的集中载荷p（x，t）以速度v在简支梁上匀速移动，载荷的初始位置位于梁的左支座，如图1所示[6]，即有
图1 移动载荷作用下的简支梁
则梁的r阶模态方程可表示为
式中：mr为简支梁的r阶模态质量，E为弹性模量，I为截面惯性矩，t为时间，pu为移动载荷，v为移动载荷的速度，L为简支梁的长度，r为模态阶次，qr（t）为r阶模态坐标。
将式（2）做进一步简化，可表示为
取静平衡位置为坐标原点，可以求得式（3）的稳态解为
根据振型叠加法，简支梁在移动载荷作用下的挠度可表示为
在求解出简支梁的位移响应之后，根据有限单元法可知任一单元e在移动载荷作用下的应力响应为
式中：σ（e）（t）、w（e）(x，t)分别为单元e的单元应力列阵、节点位移列阵，Y（e）为单元e的应变矩阵。
根据区间矩阵的表达方法和含义，不确定参数矩阵B可表示为
式中：B I为不确定参数区间矩阵。
不确定参数区间矩阵的均值矩阵BM以及半径矩阵ΔB可表示为
本文中下标M代表对应区间变量的均值，则不确定参数区间矩阵可表示为
本文中下标L、U分别代表对应区间变量的下界和上界，进而不确定参数矩阵B可写成确定性矩阵和不确定性矩阵之和，即
将第r阶模态坐标qr（B，t），r＝（1，2，…，n），在BM处展开成一阶泰勒级数。
经过区间运算，便可得第r阶模态（r＝1，2，…，n）的模态坐标区间的上界和下界分别为
对于单个区间变量来讨论区间因子的表达式，设qIr＝[qrL，qrU]为一区间变量，则根据式（9）可得
由此，区间因子可表示为
简支梁结构动力学响应的区间变量的不确定性与结构几何尺寸（截面惯性矩I、梁长L）、结构物理参数（弹性模量E、单位长度的质量ρ）、外载荷幅值（Pu）和外载荷移动速度v有关。
基于此，结合区间因子法，将上述不确定性简支梁参数进行参数组合。
1）参数组合1 考虑简支梁的截面属性的不确定性和外载荷幅值的不确定性影响，其中不确定性参数惯性矩I和外载荷幅值Pu的区间为
2）参数组合2 在惯性矩I、外载荷幅值Pu同时具有不确定性的基础上，使梁长L和外载荷移动速度v为不确定性参数，其区间为
3）参数组合3 惯性矩、外载荷幅值、梁长度、外载荷移动速度、弹性模量和单位长度质量均为不确定性参数，其区间分别为
在此，主要讨论模态坐标的区间因子和由模态坐标的不确定性导致的位移响应和应力响应的不确定性。首先利用区间因子法，求梁的第r阶模态的模态坐标的区间因子。同时，取区间分散性最大的(t)作为梁的各阶模态坐标区间变量q（rt）统一的区间因子，即
进而由区间因子法可得简支梁的位移响应区间变量w(x，t)为
然后，根据区间因子法求得单元e的应力响应区间变量为
图2所示为某型轨道式龙门起重机。对龙门起重机的主梁进行分析，一般是将小车和吊重简化为一个移动的重物，将主梁的分析问题简化为移动载荷或移动质量作用下梁的振动问题[7，8]。对于起重机主梁，移动载荷模型或移动质量模型得到的挠度值非常接近，偏差值较小。移动载荷模型求解简单，在工程中较常用。
图2 轨道式龙门起重机示意图
将求得的理论应用到轨道式龙门起重机的主梁动力响应分析中，所选取的参数如表1所示。
表1 龙门起重机主要参数
对于龙门起重机的主梁，根据经验可知，简支梁最大位移在梁跨中，即求当x＝L/2时，位移响应的最大值wmax（L/2，t）。计算得简支梁的最大位移量wmax＝9.9 mm。同时，在Ansys中建立该算例的有限元模型，得到该起重机主梁的最大Von Mises等效应力为。
在此，考虑梁的截面惯性矩I和梁长L的变化幅度为±5%时，移动载荷Pu和速度v的变化幅度为±5%，弹性模量E和单位长度的质量ρ的变化幅度为±5%，求这些参数不确定性导致的结构动力响应（位移、应力）的不确定性如表2所示。其中，最大位移的变化幅度为，最大应力的变化幅度为。
表2 龙门起重机主梁计算结果
经计算可知，当简支梁的惯性矩和外载荷变化幅度为5%时，模态的区间因子的变化幅度为7.8%，相应位移响应最大值和单元e应力响应最值的区间因子的变化幅度（见图3）都为7.8%。
图3 龙门起重机在不确定不参数组合下结构响应的变化范围
当简支梁的惯性矩、梁长、速度和外载荷变化幅度为5%时，模态区间因子的变化幅度为18.6%，相应位移响应最大值和单元e应力响应最值的区间因子变化幅度均为18.6%。对比只改变惯性矩和外载荷的情况，模态的区间因子发生较大波动，说明梁长和外载荷速度对模态响应的影响较大。
当简支梁的惯性矩、梁长、速度、外载荷、弹性模量、单位长度质量变化幅度为5%时，模态区间因子的变化幅度为23.6%。相应位移响应最值的区间因子的变化幅度为23.6%，单元e应力响应最值的区间因子变化幅度为29.8%。对比只改变惯性矩和外载荷的情况，模态的区间因子发生较大波动，且波动值的增加速度放缓，说明材料属性的变化对模态的影响较小。由图3b可知，参数组合3对应力不确定性的影响增大，说明弹性模量的不确定性引起了应力的不确定性。
对于龙门起重机主梁上作用移动载荷的问题，应用所建立的3种不确定参数组合模型，在保证结构几何参数和外载荷区间分散性情况相同时，结构几何参数的不确定性比载荷参数的不确定性对梁的动力响应的影响更明显。因此，在龙门起重机主梁动力学响应的分析中，结构几何参数对最大位移变化范围的不确定性影响较大。材料属性对最大位移的不确定性影响较小，对最大应力的不确定性影响较大。
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